ВКР по математике, как написать и защитить дипломную работу по математике

1. Чем ВКР по математике отличается от других дипломов

Главная особенность в том, что проверить работу можно строже, чем почти любую другую. Ошибку в выкладке руководитель находит за минуту, а неверная формула в начале главы тянет за собой все выводы. Поэтому в математике меньше места для общих рассуждений, и каждое утверждение должно быть либо доказано, либо снабжено ссылкой.

Второе отличие в том, что вид работы задает направление подготовки. На 01.03.01 «Математика» (ФГОС утвержден приказом Минобрнауки № 8 от 10.01.2018) ждут доказательств и обзора результатов по задаче. На 01.03.02 «Прикладная математика и информатика» (приказ № 9 от 10.01.2018) и на 02.03.01 «Математика и компьютерные науки» к теории добавляются модель, алгоритм и программа. Будущие учителя пишут на 44.03.01 «Педагогическое образование» или на 44.03.05 с двумя профилями (приказ № 125 от 22.02.2018), и их работа почти всегда посвящена методике обучения математике.

Проще всего определить вид работы по теме. Если в ней есть слово «обучение», номер класса или название школьного раздела, работа методическая, и комиссия будет спрашивать про эксперимент в школе. Если в теме стоит модель, метод, алгоритм или название уравнения, работа прикладная, и вопросы пойдут о постановке задачи и точности расчета. Бывает смешанный вариант, например элективный курс по численным методам для старшеклассников, тогда в работе нужны оба блока.

2. Структура и объем глав

Объем задает методичка кафедры. В бакалавриате чаще всего встречается 50-70 страниц основного текста без списка литературы и приложений. Доли частей у двух видов работы разные.

В прикладной работе первую главу иногда делают короче, если вторая содержит собственный вывод и большой блок расчетов. Общий порядок частей разобран в статье про план дипломной работы.

3. Объект, предмет, гипотеза и задачи на примерах

Возьму методическую тему «Обучение решению задач на проценты в 6 классе с использованием сюжетных задач».

Объект - процесс обучения математике учащихся 6 класса.

Предмет - использование сюжетных задач при обучении решению задач на проценты. Предмет уже объекта и почти повторяет тему. Подробнее о разнице в разборе про объект и предмет исследования.

Цель - разработать систему сюжетных задач по теме «Проценты» и проверить ее влияние на умение учащихся 6 класса решать задачи на проценты.

Гипотеза - умение решать задачи на проценты будет сформировано успешнее, если в обучение включить систему сюжетных задач с постепенным усложнением и разбором типичных ошибок. Гипотеза в методической работе проверяется сравнением результатов срезов, поэтому в ней должен быть измеримый результат. Как формулировать такие утверждения, разобрано в статье про гипотезу исследования.

Задачи идут в том порядке, в каком решаются в тексте.

1. Проанализировать место темы «Проценты» в курсе математики 5-6 классов и требования к результатам обучения.
2. Выявить типичные трудности учащихся при решении задач на проценты.
3. Разработать систему сюжетных задач и уроки по ней.
4. Провести опытную проверку и сравнить результаты входного и итогового срезов.

В прикладной работе гипотезы обычно нет, ее место занимает постановка задачи. Возьму тему «Численное решение уравнения теплопроводности методом конечных разностей». Объект здесь процессы теплопроводности в стержне, предмет численные методы решения одномерного уравнения теплопроводности. Цель построить и исследовать разностную схему и реализовать ее в программе. Задачи выглядят так.

1. Поставить начально-краевую задачу для уравнения теплопроводности.
2. Построить явную и неявную разностные схемы и выписать условия их устойчивости.
3. Реализовать схемы в программе и проверить ее на задаче с известным точным решением.
4. Провести вычислительные эксперименты и сравнить схемы по точности и времени счета.

Каждой задаче соответствует параграф и ответ в заключении. Если задача стоит во введении, а в тексте ее не видно, руководитель вернет работу именно с этим замечанием.

4. Методическая ВКР и опытная проверка

Теория методической работы строится вокруг конкретного раздела школьного курса. Требования к результатам берутся из ФГОС основного общего образования (приказ Минпросвещения России от 31.05.2021 № 287) и федеральной образовательной программы основного общего образования (приказ Минпросвещения России от 18.05.2023 № 370). Если тема связана с экзаменами, задачи сверяются с открытым банком заданий ФИПИ и с кодификатором текущего года. Общий пересказ педагогики без задач руководитель обычно возвращает.

Опытная проверка обычно идет в три этапа.

• Констатирующий срез фиксирует исходный уровень умения до начала работы.
• На формирующем этапе вы ведете уроки по разработанной системе задач.
• Контрольный срез повторяет ту же проверку в конце, с теми же критериями оценивания.

Проверку проводят на педагогической практике или в своем классе, поэтому тему стоит выбирать под класс, к которому у вас есть доступ. Сколько групп нужно, решает методичка. Иногда хватает одного класса и сравнения до и после, иногда просят контрольную и экспериментальную группы.

Для обработки результатов достаточно двух-трех инструментов. Баллы за контрольную работу у одного и того же класса до и после сравнивают T-критерием Вилкоксона, две разные группы сравнивают U-критерием Манна-Уитни. Как считать их вручную, в Excel и в SPSS, показано в разборе критериев Манна-Уитни и Спирмена. Когда выборка небольшая, выводы пишутся в меру данных, и формулировка «гипотеза подтверждена на выборке одного класса» честнее широких обобщений.

5. Математическая и прикладная ВКР

В работе на направлении «Математика» первая глава дает точные определения и формулировки теорем, на которые опирается исследование, со ссылками на учебники и статьи. Во второй главе ваш собственный результат. Это может быть доказательство утверждения для частного случая, разбор нескольких способов решения одного класса задач или обобщение известной теоремы. Важно, чтобы было видно, где кончается известное и начинается сделанное вами.

Прикладная работа начинается с постановки задачи на языке формул. Распределение тепла в стержне, динамика численности популяции, оптимальный план перевозок, прогноз по временному ряду. Под модель выбирается метод решения, и выбор нужно обосновать. Для численного метода указывают условия сходимости и устойчивости, оценку погрешности, а результат сравнивают с точным решением там, где оно известно, или с расчетом на более мелкой сетке.

Глава заканчивается серией вычислительных экспериментов. В них видно, как меняется решение при смене параметров, и из них следует вывод для исходной задачи. Если эксперименты есть, а вывода из них нет, комиссия спросит, зачем они проводились.

6. Источники и программы

Список литературы в математике короче, чем в гуманитарных работах, но к нему строже относятся. Ссылки ставят на конкретную теорему, страницу или формулу. Несколько книг, на которые ссылаются особенно часто.

К учебникам добавляют статьи за последние годы по вашей задаче, их удобно искать в eLibrary и в журналах по математическому моделированию. Как собрать и оформить список, разобрано в статье про список литературы по ГОСТ.

Расчеты делают в той среде, которую называет кафедра. Mathcad удобен, когда руководитель хочет видеть вычисления прямо в обычной математической записи. В MATLAB привычно считать системы уравнений и дифференциальные уравнения. Python с библиотеками NumPy и SciPy подходит, когда среда не задана. Для методических работ по геометрии часто берут GeoGebra, чертежи из нее удобно вставлять в конспекты уроков.

7. Как выглядит практическая часть

Вот как обычно устроен раздел с расчетом на прикладной теме из раздела 3. Цифры здесь не привожу, они получаются только из вашего расчета.

Сначала выписывается начально-краевая задача для уравнения ∂u/∂t = a·∂²u/∂x² на отрезке с начальным распределением температуры и условиями на концах. Затем вводится сетка с шагом h по пространству и τ по времени, и строится явная схема. Для нее выписывается условие устойчивости a·τ/h² ≤ 1/2, и в тексте объясняется, что будет при его нарушении. Неявная схема устойчива при любых шагах, но на каждом слое требует решения системы уравнений, для этого используют метод прогонки.

Дальше идет проверка программы на тестовой задаче, у которой точное решение известно. В таблицу выносят шаги сетки, максимальную погрешность и время счета для обеих схем. Если при уменьшении шага погрешность падает так, как предсказывает теория, программа работает правильно. После этого схемы применяют к исходной задаче, строят графики температуры в разные моменты времени и пишут вывод, какая схема удобнее при каких параметрах.

В методической работе практическая часть устроена иначе. Сначала описывается система задач, у каждой задачи указаны умение, которое она тренирует, и решение. Затем таблица результатов срезов, в столбцах уровни умения или баллы входного и итогового контроля по каждому ученику или группе, под таблицей расчет критерия. Отдельно разбираются ошибки учеников по типам, например ошибки при нахождении процента от числа и числа по его проценту. Как в целом строится такая глава, показано в статье про практическую часть.

8. Формулы и оформление

Формулы набирают в редакторе формул Word или в LaTeX, если кафедра принимает работу в нем. Формулы, вставленные картинками, комиссия замечает сразу. Нумерация сквозная или по главам, как в методичке, и ссылки в тексте ставятся на номер формулы.

Обозначения должны быть едиными от первой до последней страницы. Если в первой главе шаг сетки обозначен h, во второй он тоже h. Новые обозначения поясняются сразу после формулы, где они впервые появились.

Общие правила оформления отчетов задает ГОСТ 7.32-2017, список литературы оформляют по ГОСТ Р 7.0.100-2018, но многие кафедры пишут свои требования, и тогда главнее методичка. Листинг программы и громоздкие таблицы уходят в приложения, об этом подробнее в разборе про приложения в дипломной.

9. Частые замечания руководителя

По дипломным работам по математике замечания повторяются из года в год.

• Пропущены шаги в доказательстве, и непонятно, откуда взялось равенство.
• Один и тот же объект обозначен по-разному в разных главах.
• Неясно, что сделал автор, а что взято из учебника.
• Численный результат приведен без оценки погрешности и без проверки на точном решении.
• Шаги сетки выбраны без проверки условия устойчивости.
• Методическая работа без опытной проверки или с выводами сильнее, чем позволяют данные одного класса.
• Теория пересказывает общую педагогику и не касается выбранной темы школьного курса.
• Задачи приведены без решений или без логики нарастания сложности.
• Формулы вставлены картинками.

Если замечания уже пришли, разбирайте их по одному. Замена метода, например, тянет за собой пересчет всех экспериментов и правку выводов. Как вести диалог с руководителем, разобрано в статье про работу с научным руководителем.

10. Защита ВКР по математике

Речь. Регламент обычно 5-7 минут. В начале постановка задачи или гипотеза, большая часть времени на метод и результаты, в конце выводы. Как собрать текст, разобрано в статье про речь на защиту.

Слайды. На слайды выносят постановку, ключевую теорему или схему метода, таблицы и графики результатов. Длинные выкладки на слайдах не читаются, их оставляют для ответов на вопросы. Подробно про оформление в разборе презентации к диплому.

Вопросы комиссии. Чаще всего спрашивают одно и то же.

• Почему выбран именно этот метод и чем он лучше другого известного.
• При каких условиях метод сходится и как оценена погрешность.
• Повторите ключевой шаг доказательства у доски.
• Как проводилась опытная проверка и почему сдвиг дала именно ваша система задач.
• Где результаты можно применить.

Просьба повторить выкладку у доски в математике встречается чаще, чем на других направлениях, поэтому ключевые доказательства стоит проговорить вслух несколько раз. Общий план подготовки разобран в статье о том, как подготовиться к защите.

11. Можно ли скачать готовую ВКР по математике

Запросы «скачать ВКР по математике» и «готовые дипломные работы по математике» встречаются часто. Сдать скачанную работу почти никогда не получается.

Первая причина в антиплагиате. Работа из открытого доступа уже есть в базах проверки, и отчет покажет совпадение с ней почти целиком. Как устроена проверка, разобрано в статье о том, как пройти антиплагиат.

Вторая причина в защите. По математике комиссия просит повторить вывод или объяснить шаг алгоритма, и чужое доказательство без подготовки пересказать трудно. В методической работе руководитель знает, где вы проходили практику, и чужие результаты срезов всплывут сразу.

Третья причина в теме. Утвержденная формулировка почти никогда не совпадает с чужой дословно, а переделка постановки и выводов занимает больше времени, чем кажется.

Готовые работы полезны как образец структуры. Смотрите, как описан метод, как оформлены таблицы расчетов и как сформулированы выводы, и пишите свою.

12. Темы и где заказать работу

Тему проще защитить, если под нее есть материал. Для методической работы это класс на практике и учебник, по которому там занимаются. Для прикладной это задача из курсовой или данные с места практики. Формулировки по методике основной школы, подготовке к ОГЭ и ЕГЭ, численным методам и оптимизации собраны на странице темы ВКР по математике, а для второго и третьего курса подойдут темы курсовых по математике.

Если писать работу самому не получается по времени, на странице дипломная работа по математике на заказ описано, как я с ней работаю и сколько это стоит. Можно заказать и одну часть, например только систему задач с решениями или только программу и расчеты. Для младших курсов есть курсовая по математике, а для магистрантов отдельная страница магистерская по математике. Если прикладная тема перерастает в исследование, пригодится страница про кандидатскую по математическому моделированию.

Частые вопросы

Чем методическая ВКР по математике отличается от прикладной?

В методической исследуют обучение, поэтому в ней есть гипотеза, срезы и сравнение результатов учеников. В прикладной исследуют саму задачу, и главными становятся модель, метод решения и расчет. Какой вид нужен вам, видно по направлению в учебном плане и по методичке кафедры.

Обязательно ли в дипломной работе по математике писать программу?

На направлениях прикладной математики почти всегда да, расчет без программы там не принимают. На направлении «Математика» и в методических работах программа нужна, только если ее требует тема или руководитель.

В чем набирать формулы, в Word или в LaTeX?

Как требует кафедра. Многие принимают работу только в Word, тогда формулы набирают в редакторе формул. Если LaTeX разрешен, сдают PDF и исходник. Картинки вместо формул не подходят ни в каком случае.

Где провести опытную проверку для методической ВКР?

Там, где у вас есть ученики, обычно на педагогической практике или в своем классе. Тему лучше согласовать с учителем класса заранее, чтобы уроки по вашей системе задач попали в его календарный план.

Как подготовиться к защите дипломной работы по математике?

Прогоните речь вслух по таймеру, вынесите на слайды постановку и результаты и отдельно повторите ключевые доказательства и шаги алгоритма так, чтобы могли показать их у доски. Чаще всего спрашивают про выбор метода и оценку погрешности.

Сколько источников нужно в ВКР по математике?

Обычно 20-50, точное число задает методичка. Важнее, чтобы на каждую теорему и формулу, которую вы не доказываете сами, стояла ссылка с номером страницы.

Можно помочь только с расчетом или задачами?

Да. Сделаю программу и вычислительные эксперименты к вашей модели или систему задач с решениями к вашей теоретической главе и приведу обозначения к одному виду с вашим текстом. Цену называю после того, как посмотрю задание.