Как рассчитать и описать в дипломе критерий Манна-Уитни и корреляцию Спирмена

1. Какой критерий выбрать

Выбор зависит от вопроса исследования и от данных.

Манн-Уитни и Спирмен отвечают на два разных вопроса. Первый сравнивает группы, второй ищет связь внутри одной выборки. В одной эмпирической главе часто используют оба, как на листе-примере дипломной по психологии.

2. Почему непараметрические критерии

Большинство психологических методик дает результат в баллах. Разница между 40 и 45 баллами не обязательно такая же, как между 60 и 65, то есть шкала по сути порядковая. Кроме того, в дипломе выборки небольшие, а распределение баллов часто отличается от нормального.

Проверяют и описывают это так.

• нормальность распределения проверяют критерием Шапиро-Уилка отдельно в каждой группе;
• если хотя бы в одной группе p < 0,05, распределение отличается от нормального, и логично взять непараметрический критерий;
• в тексте это одно предложение вроде «Распределение баллов личностной тревожности в группе с низкой мотивацией отличается от нормального (критерий Шапиро-Уилка, p = 0,03), поэтому различия оценивались по критерию Манна-Уитни».

Для непараметрических критериев группы описывают медианой и квартилями, а не средним и стандартным отклонением. Среднее у таких данных вводит в заблуждение, и об этом часто спрашивают на защите.

3. Критерий Манна-Уитни простыми словами

Все испытуемые обеих групп выстраиваются в один ряд по возрастанию баллов, и каждому присваивается ранг. Самый низкий балл получает 1, следующий 2 и так далее. Если группы не различаются, ранги перемешаны. Если в одной группе баллы систематически выше, ее ранги окажутся в конце ряда.

Критерий U показывает, насколько сильно группы «перекрываются». Чем меньше U, тем меньше перекрытие и тем сильнее различия. Главное, что нужно запомнить, это то, что у Манна-Уитни значимым считается маленькое эмпирическое значение, меньшее или равное критическому.

4. Пример расчета U вручную

Данные условные, это баллы личностной тревожности в двух группах по 8 студентов.

• Группа 1, высокая учебная мотивация - 34, 38, 41, 36, 45, 39, 33, 40.
• Группа 2, низкая учебная мотивация - 44, 47, 42, 50, 39, 48, 52, 46.

Шаг 1. Общий ряд и ранги. Всего 16 значений. У двух испытуемых по 39 баллов, они делят места 5 и 6 и получают средний ранг 5,5.

Шаг 2. Суммы рангов.

• Группа 1 - 1 + 2 + 3 + 4 + 5,5 + 7 + 8 + 11 = 41,5.
• Группа 2 - 5,5 + 9 + 10 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16 = 94,5.
• Для проверки 41,5 + 94,5 = 136, и N · (N + 1) / 2 = 16 · 17 / 2 = 136. Суммы сошлись, значит ранги расставлены верно.

Шаг 3. U. Формула та же, что на листе-примере.

U_эмп = n1 · n2 + nx · (nx + 1) / 2 − Tx,

где n1 и n2 - объемы групп, nx - объем группы с большей суммой рангов, Tx - большая из сумм рангов.

U_эмп = 8 · 8 + 8 · 9 / 2 − 94,5 = 64 + 36 − 94,5 = 5,5.

Для проверки считают второе значение, 41,5 − 8 · 9 / 2 = 5,5, а из суммы второй группы 94,5 − 36 = 58,5. В сумме 5,5 + 58,5 = 64 = n1 · n2. Берут меньшее, 5,5.

Шаг 4. Сравнение с критическим значением. Для двух групп по 8 человек при двусторонней проверке критическое значение U равно 13 при α = 0,05 и 7 при α = 0,01. В примере U = 5,5, это меньше 7, значит различия значимы на уровне 0,01. Точный уровень значимости для этих данных около 0,003.

Шаг 5. Z для больших групп. Когда в каждой группе больше 20 человек, вместо таблицы используют нормальное приближение.

Z = (U − n1 · n2 / 2) / √(n1 · n2 · (N + 1) / 12).

Для примера Z = (5,5 − 32) / √(64 · 17 / 12) = −26,5 / 9,52 = −2,78, с поправкой на одинаковые значения −2,79. Группы здесь маленькие, поэтому основной вывод дает таблица, а Z показан для понимания.

5. Манн-Уитни в Excel

Готовой функции для U в Excel нет, но все шаги считаются формулами. Пусть в столбце A номер группы (1 или 2), в столбце B баллы, данные в строках 2-17.

Важно брать именно РАНГ.СР. Старая функция РАНГ дает одинаковым значениям один и тот же меньший ранг, и сумма рангов перестает сходиться.

Формула Z в таблице без поправки на одинаковые значения. Когда совпадений немного, разница в третьем знаке, как в примере. Для малых групп значимость проверяйте по таблице критических значений, а не по p из нормального приближения.

6. Манн-Уитни в SPSS

1. Данные в двух столбцах, в одном группирующая переменная (1 и 2), в другом баллы.
2. Меню «Анализ» → «Непараметрические критерии» → «Устаревшие диалоговые окна» → «Для двух независимых выборок».
3. Баллы перенести в список проверяемых переменных, а номер группы в группирующую переменную, нажать «Определить группы» и указать 1 и 2.
4. Тип критерия - U Манна-Уитни.

В результатах две таблицы. В таблице рангов стоят средний ранг и сумма рангов по группам, в примере это 5,19 и 11,81, суммы 41,5 и 94,5. В таблице статистик - U Манна-Уитни, W Уилкоксона (это меньшая сумма рангов, 41,5), Z и значимость. Для малых групп SPSS показывает еще точную значимость, ее и берите, а для больших групп асимптотическую двустороннюю.

Названия пунктов меню немного отличаются в разных версиях программы. В англоязычной версии путь такой - Analyze → Nonparametric Tests → Legacy Dialogs → 2 Independent Samples.

7. Величина эффекта и таблица для диплома

Значимость отвечает на вопрос, случайны ли различия. Величина эффекта показывает, насколько они велики. Для Манна-Уитни ее считают по формуле ниже.

r = |Z| / √N.

В примере r = 2,79 / √16 = 0,70. По классификации Дж. Коэна эффект 0,1 считается слабым, 0,3 средним, 0,5 сильным, так что здесь эффект сильный. На листе-примере при 60 испытуемых r = 0,45, эффект средней силы, близкий к сильному.

Результаты сравнения групп в дипломе удобно дать одной таблицей.

Таблица 2.1 - Личностная тревожность в группах с разным уровнем учебной мотивации

Под таблицей дают примечание, как считался p, и источник данных, здесь данные условные.

Одинаковые цифры в таблице и на рисунке не повторяйте. Если нужен рисунок, покажите на нем распределение по уровням, как на листе-примере, а не те же медианы.

8. Корреляция Спирмена простыми словами

Коэффициент Спирмена отвечает на вопрос, выше ли у человека второй показатель, если выше первый. Считается он по рангам, а не по самим баллам. Каждый признак ранжируют отдельно, а потом смотрят, насколько ранги совпадают.

Значение лежит от −1 до +1.

• около +1, если чем выше один признак, тем выше другой;
• около −1, если чем выше один, тем ниже другой;
• около 0, если связи нет.

Спирмена берут вместо Пирсона, когда шкалы порядковые, распределение не нормальное, есть выбросы или связь монотонная, но не прямолинейная.

9. Пример расчета Спирмена вручную

Условные данные по 10 студентам, X - личностная тревожность, Y - учебно-познавательные мотивы, баллы по условным шкалам.

Сумма разностей d всегда равна нулю, это удобная проверка. Сумма квадратов 276.

rs = 1 − 6 · Σd² / (n · (n² − 1)) = 1 − 6 · 276 / (10 · 99) = 1 − 1656 / 990 = −0,673.

Критическое значение для n = 10 при двусторонней проверке 0,648 при α = 0,05 и 0,794 при α = 0,01. По модулю 0,673 больше 0,648, но меньше 0,794, так что связь значима на уровне 0,05. Точный уровень значимости для этих данных около 0,04.

Формула с Σd² точна, только когда одинаковых значений нет. Если они есть, коэффициент считают как корреляцию Пирсона между рангами, так делают Excel и SPSS.

10. Спирмен в Excel и SPSS

Excel. Функции Спирмена нет, и здесь чаще всего ошибаются.

1. Ранги X считаете формулой =РАНГ.СР(B2;$B$2:$B$11;1) и протягиваете вниз.
2. Ранги Y считаете формулой =РАНГ.СР(C2;$C$2:$C$11;1) и тоже протягиваете вниз.
3. Коэффициент дает =КОРРЕЛ(столбец рангов X;столбец рангов Y). В примере −0,673.

КОРРЕЛ по исходным баллам, без рангов, дает коэффициент Пирсона. На данных примера разница небольшая, −0,676 против −0,673. Но при выбросах и нелинейной связи расхождение бывает большим, и в любом случае в диплом попадет не тот критерий, который назван в тексте.

Значимость для больших выборок можно оценить через t = rs · √((n − 2) / (1 − rs²)) и функцию =СТЬЮДЕНТ.РАСП.2Х(ABS(t);n−2). Для малых выборок надежнее таблица критических значений.

SPSS. «Анализ» → «Корреляции» → «Парные», перенести переменные, в коэффициентах корреляции отметить Спирмен и снять Пирсон. В таблице результатов для каждой пары выводятся коэффициент корреляции, двусторонняя значимость и N.

11. Сила связи и чего корреляция не доказывает

Для описания силы связи в русскоязычных работах часто используют шкалу Чеддока. По ней связь до 0,3 считается слабой, 0,3-0,5 умеренной, 0,5-0,7 заметной, 0,7-0,9 высокой, а выше 0,9 весьма высокой. В примере rs = −0,673, это заметная обратная связь. Какую шкалу использовать, лучше согласовать с руководителем и сослаться на источник.

На защите обычно спрашивают о двух вещах.

• Корреляция не доказывает причину. Из связи тревожности и мотивации не следует, что тревожность снижает мотивацию. Может быть и наоборот, или обе зависят от третьего фактора, поэтому пишут «связана», а не «влияет».
• Значимость зависит от объема выборки. При 60 испытуемых значимым будет коэффициент от 0,33 при α = 0,01 (так в примечании к таблице на листе-примере), а при 10 испытуемых нужно 0,794. Слабая связь на большой выборке может быть значимой, но практически мало что значит.

12. Поправка Бонферрони при многих сравнениях

Если вы считаете корреляцию тревожности с семью шкалами мотивации, шанс получить хотя бы одну «значимую» связь случайно заметно больше 5%. Проще всего это учесть поправкой Бонферрони, при которой уровень значимости делят на число сравнений. При семи сравнениях порог становится 0,05 / 7 = 0,007.

На листе-примере так и сделано, из семи корреляций значимыми после поправки остались три. И в таблицу вошли все семь шкал, а не три удобные, так что вопрос «а что с остальными мотивами?» не застает врасплох.

13. Как описать результаты в тексте

Сравнение групп. «Студенты с низкой учебной мотивацией имеют значимо более высокую личностную тревожность, чем студенты с высокой мотивацией (Me = 46,5 против 38,5 балла; U = 5,5; p = 0,003; r = 0,70), что соответствует сильному эффекту».

Корреляция. «Выявлена значимая обратная связь личностной тревожности с учебно-познавательными мотивами (rs = −0,67; p < 0,05; n = 10), и чем выше тревожность, тем ниже выраженность познавательных мотивов. Корреляционный характер связи не позволяет судить о направлении влияния».

Нет различий. «По ситуативной тревожности значимых различий между группами не выявлено (U = ...; p = ...)». Отсутствие различий тоже результат, и его не прячут.

В каждой фразе видно, что сравнивали и в какую сторону различие или связь, и приведены сами значения, уровень значимости и, где уместно, величина эффекта.

14. Частые ошибки

• Группы описаны средним, хотя применен непараметрический критерий.
• В тексте написано «Спирмен», а в Excel посчитан КОРРЕЛ по исходным баллам, то есть Пирсон.
• U сравнивают с критическим значением «наоборот», считая значимым большое U.
• Для групп по 8 человек вывод сделан только по Z, без таблицы или точного p.
• Ранги посчитаны функцией РАНГ, одинаковые значения получили неверные ранги.
• Семь корреляций без поправки, и в выводы попала случайная связь.
• Корреляция описана как влияние одного признака на другой.
• Критерий Стьюдента применен без проверки нормальности.
• В диплом вставлен скриншот SPSS вместо таблицы с подписью и примечанием.
• Незначимые результаты убраны из таблицы.

15. Памятка

1. Сформулируйте вопрос, вас интересуют различия групп или связь признаков.
2. Проверьте нормальность по Шапиро-Уилку в каждой группе.
3. Для различий двух независимых групп возьмите Манна-Уитни, а для связи Спирмена.
4. Ранжируйте через РАНГ.СР и проверьте сумму рангов.
5. Для малых групп сравнивайте с таблицей критических значений.
6. Добавьте величину эффекта r.
7. Описывайте группы медианой и квартилями.
8. При многих сравнениях примените поправку Бонферрони.
9. Пишите «связана», а не «влияет».
10. Дайте в таблице все шкалы, включая незначимые.

16. Вопросы и ответы

Какая минимальная выборка нужна для Манна-Уитни?

Формально критерий считается и на очень маленьких группах, но у значимости есть предел. При двух группах по 3 человека даже полное разделение групп дает двусторонний p = 0,1, то есть уровня 0,05 не достичь в принципе. При группах по 4 человека это уже возможно. Для дипломного исследования группы стоит планировать заметно больше.

Манн-Уитни или критерий Стьюдента?

Если данные в обеих группах распределены нормально и шкала количественная, можно Стьюдента. Если нормальность нарушена хотя бы в одной группе или шкала порядковая, Манна-Уитни. Выбор описывают одним предложением со ссылкой на проверку нормальности.

Спирмен или Пирсон?

Пирсон подходит для количественных данных с нормальным распределением и прямолинейной связью. Спирмен нужен для порядковых шкал, ненормальных распределений, выбросов. Для баллов психологических методик в дипломе чаще выбирают Спирмена.

p получилось 0,06. Можно написать «тенденция к различиям»?

Так иногда пишут, но это слабое место на защите. Честнее указать, что различия не достигли уровня значимости, привести p и величину эффекта. Если эффект заметный, а выборка маленькая, это повод написать об ограничении исследования.

Можно посчитать в другой программе?

Да, критерии одинаковые в любой статистической программе. В тексте достаточно назвать программу и критерий, а в таблице привести значения.

Нужно ли приводить формулы в дипломе?

Зависит от требований кафедры. Если формулы и пошаговый расчет есть, на вопрос «откуда это число» ответ уже на странице. На листе-примере дипломной по психологии формулы U, Z и r приведены прямо в тексте.

Где я могу помочь

• Дипломная по психологии с эмпирической главой, где каждый расчет показан по шагам, подробнее на странице дипломная по психологии. Там же фрагмент такой главы со страниц 41-43.
• Магистерская, где статистики больше и выборки сложнее, это магистерская по психологии.
• Если тема еще не выбрана, посмотрите темы дипломных по психологии.